? Copie de Clémence (18.3/20) ?
? Sujet Maths Ecricome 2020 ?
? Corrigé Maths Ecricome 2020 ?
I/ Analyse de la copie et conseils pour traiter les questions
EXERCICE 1
PARTIE A
- C’est un simple calcul matriciel donc il est facile d’obtenir des points (ou plutôt de ne pas en perdre)
2. Méthode pour gagner du temps : repérer un polynôme annulateur vous permet de rapidement dégager les valeurs propres possibles.
3. C’est une condition nécessaire et suffisante : 0 n’est pas valeur ó M est inversible. Il est bon de connaître cette stratégie, qui découle de la définition même de la diagonalisation.
PARTIE B
4. Encore une fois question très classique à maîtriser sur le bout des doigts ! Attention à bien préciser que les solutions admises par le système sont bien non nulles ! Attention également à ne pas aller trop vite dans l’enchaînement : C’est une famille de vecteurs non nuls, elle est libre et génératrice DONC c’est une base.
5. Question classique : il est suffisant de montrer que ce système admet des solutions nulles pour montrer que 0 est valeur propre puis on utilise la condition nécessaire et suffisante.
6. Question aussi classique
PARTIE C
7. Pour montrer qu’une famille est une base il est plus intelligent de montrer qu’elle est libre puis qu’elle est composée de n vecteurs dans un espace de dimension au plus n pour montrer que c’est une base.
8. Pour calculer f(u) et f(v), passer par les représentations matricielles peut être plus aisé.
9. Idem
10. Remarque : lorsqu’au concours la matrice est appelée « T », il est bon de constater que l’on a une matrice triangulaire, si ce n’est pas le cas vous pouvez revoir vos calculs. Il vaut mieux repérer une éventuelle faute tout de suite que de devoir se replonger dans ses calculs 30 minutes après avoir traité la question !
11. NB : les valeurs propres sont les coefficients diagonaux d’une matrice seulement en ce qui concerne les matrices triangulaires (supérieures ou inférieures, cela n’a pas d’importance) !
EXERCICE 2
PARTIE A
Les premières questions sont encore une fois classiques sur les intégrales.
3. Même si les calculs de dérivés premières et secondes peuvent vous paraître longs, c’est tout à fait normal, surtout quand il s’agit de quotient et produits. Mais prenez bien votre temps lors de la réalisation de ces calculs car une petite erreur d’inattention pourrait vous faire perdre beaucoup plus de temps dans les questions suivantes.
4.a) Pour démontrer une inégalité, il existe différente manière. Cependant dans le cas d’une inégalité de ce type avec des n des 2 côtés, la solution la plus naturelle sera de créer une fonction puis de définir son tableau de signe en la dérivant. Ce calcul peut être long mais ce n’est pas le plus difficile.
b) Dans le cas de questions comme celles-ci, il faut construire l’inégalité. Partez d’abord de ce que vous savez, ce que vous avez déduit des questions précédentes puis définissez où vous souhaitez aller, quel doit être le résultat que vous devez trouver afin de déterminer le meilleur raisonnement. Il est bon de s’être déjà bien entraîné en amont car le jour du concours vous ne prendrez pas le temps d’essayer plusieurs raisonnements pour trouver la réponse à votre question (et vous avez raison c’est une course contre la montre), ce fut d’ailleurs mon cas ahah.
c) Théorème classique de minoration/majoration puis passage à la limite.
6. Vous devez connaître la rédaction de cette question par cœur ! Elle tombe systématiquement au concours ! Attention à bien évoquer chaque argument, voyez-le comme 1 argument = 1 point.
PARTIE B
Par contrainte de temps j’ai décidé de ne pas traiter cette partie. Mais je vous conseille de bien travailler cet exercice très intéressant sur les suites implicites !
PARTIE C
Encore une fois un classique, les fonctions de 2 variables tombent tous les ans au concours. Cependant, celles présentées au concours 2020 étaient un peu spéciales puisqu’on a ici à faire à un produit de fonctions plus complexes.
EXERCICE 3
1. On commence avec une intégrale de Riemann bien connue des candidats, qu’il faut évidemment savoir repérer.
2. a) Bien faire attention aux hypothèses. Pour montrer qu’une fonction est une densité de probabilité : montrer que f est positive sur l’intervalle, qu’elle est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points et enfin que l’intégrale de f pour x allant de – l’infini à + l’infini est égale à 1.
c) Bien rédiger pour le premier calcul, il est possible d’abréger pour les suivants mais montrez au correcteur que vous avez bien compris !
3 . c) Les questions Scilab sont trop souvent négligées par les candidats, elles peuvent cependant rapporter beaucoup de points et en très peu de temps à ceux qui les maîtrisent. Vous entraîner à Scilab est un investissement très rentable, d’autant que ce sont souvent les mêmes types de questions qui tombent au concours.
4. Pour ces questions de probabilité, je recommande de faire un schéma de l’expérience sur son brouillon. Cela peut permettre de mieux se représenter l’expérience mentalement et donc éviter tout simplement des incohérences.
5. Le chapitre sur l’estimation est généralement vu à la fin de l’année et est donc mal maîtrisé par les candidats. C’est une erreur stratégique en réalité de ne pas prendre le temps de maîtriser ces exercices car ils sont classiques et ce sont des questions que l’on peut traiter rapidement !
b) Pour le risque quadratique j’avais tendance à réécrire la formule avec le biais même si celui-ci est nul afin de montrer au correcteur que l’on connaît la formule mais aussi afin de ne pas l’oublier si celui-ci n’était pas nul !
6. N’oubliez pas de noter les arguments utilisés ! Il est important d’expliquer que vous utilisez l’indépendance ou l’incompatibilité en probabilité !
c) le si et seulement si n’est pas accessoire puisqu’il justifie la condition nécessaire et suffisante !
Enfin pour les questions suivantes je vous laisse consulter le corrigé qui les traite !
Les points positifs :
· La copie est aérée.
Même si vous écrivez petit, n’hésitez pas à laisser de l’espace entre vos questions et encore plus entre vos parties. Vous avez le droit à autant de copies de concours que vous le souhaitez alors n’hésitez pas à mettre votre correcteur dans les meilleures conditions possibles pour sa lecture !
· Les résultats sont bien mis en évidence.
Pour ma part, je n’encadrais pas mes résultats car j’estimais que cela prenait trop de temps. En revanche, si je pouvais, je laissais quelques lignes autour pour qu’ils soient plus facilement repérables et soulignais les arguments clés et résultats. Cela permet de rendre votre copie facilement lisible.
· L’écriture est soignée.
On ne vous demande pas d’être des pros de la calligraphie, on sait que vous n’avez pas le temps. Cependant, essayez tout de même de rendre vos réponses lisibles si vous ne souhaitez pas énerver le correcteur.
· Presque toutes les questions sont traitées.
Les sujets sont volontairement plus longs que ce qu’il est possible de faire pour un étudiant en 2e ou 3e (ou même 4e) année de prépa. Voyez cela comme une chance, vous pouvez choisir de répondre aux questions que vous maîtrisez davantage. En passant un exercice, je jugeais que j’avais plus de points à prendre ailleurs (répondre plus rapidement aux questions des autres exercices). Ce que je vous conseille : si vous savez que vous maîtrisez l’algèbre plus que les probabilités ou l’analyse, alors allez jusqu’au bout des exos d’algèbre sans hésiter. En revanche, si le premier exo est un exo de proba et que vous savez que c’est votre point faible, vous pouvez commencer par l’exo d’algèbre. Et c’est même conseillé pour mettre toutes les chances de votre côté !
· Les hypothèses sont explicites.
Partez du principe que 1 argument = 1 point. En maths, vous devez bien connaître les hypothèses propres aux théorèmes. Indiquez alors quand vous les utilisez que vous pouvez les utiliser car les hypothèses sont bien respectées.
Les points négatifs :
· Des questions pourtant de bases n’ont pas été abordées.
Les suites implicites sont récurrentes au concours et donc à maîtriser.
· Les Scilab à la fin du sujet n’ont pas été réalisés.
Je le répète encore une fois mais Scilab est une réelle opportunité pour gagner des points facilement et rapidement. Entraînez vous sur des Scilab d’annales et les questions vont paraîtront simples le jour du concours !
Pour les galériens en maths : L’important et ce qui pourra faire la différence au concours est de bien maîtriser les questions qui reviennent tout le temps. Si vous avez du mal en maths, pour chaque chapitre essayez de bien maîtriser les questions de début d’énoncé. Si vous ne les maîtrisez pas, il sera difficile d’avancer dans les énoncés.
Vous pouvez vous faire des fiches où vous écrivez lisiblement la méthode de résolution type pour ces questions et l’apprendre par cœur si vous n’assimilez pas tout de suite, peut être que vous réussirez à comprendre par la suite à quoi cela vous servira !
Bonne chance à tous et n’abandonnez jamais, vous progressez chaque jour ? !
