Maths ECT: maitriser les matrices (Partie 2)

La notion des matrice est une notion clé du programme ECT. En effet, elle constitue une grande partie de l’épreuve de maths ESCP (1 exercice sur 4) et elle a pour particularité d’être la notion la plus accessible. Ce qui fait caractérise son accessibilité en termes de maitrise c’est la répétition constante des même questions à travers les années : d’où la nécessité de maitriser ce chapitre pour maximiser ses points en maths. Si vous n’avez pas vu la première partie du comment maitriser totalement les matrices en maths ECT, je vous invite à le lire ici. A travers la première partie, nous avons abordé les calculs de bases, le système d’équation linéaire et la recherche d’une puissance n d’une matrice. Dans cette seconde partie nous allons plus s’intéresser aux matrices inversibles, à la diagonalisation d’une matrice, aux valeurs et vecteurs propres, et aux polynômes annulateurs.

La notion des matrice est une notion clé du programme ECT. En effet, elle constitue une grande partie de l’épreuve de maths ESCP (1 exercice sur 4) et elle a pour particularité d’être la notion la plus accessible. Ce qui fait caractérise son accessibilité en termes de maîtrise c’est la répétition constante des mêmes questions à travers les années: d’où la nécessité de maîtriser ce chapitre pour maximiser ses points en maths. Si vous n’avez pas vu la première partie du comment maîtriser totalement les matrices en maths ECT, je vous invite à le lire ici. À travers la première partie, nous avons abordé les calculs de bases, le système d’équation linéaire et la recherche d’une puissance n d’une matrice. Dans cette seconde partie, nous allons plus s’intéresser aux matrices inversibles, à la diagonalisation d’une matrice, aux valeurs et vecteurs propres, et aux polynômes annulateurs.

 

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Inversibilité d’une matrice

Cette question figure pratiquement dans tout les exercices, c’est un must à maitriser. Pour cela, certains réflexes lors du raisonnement doivent être établis dont: 

  • Tout d’abord, une matrice A est dite inversible s’il existe une matrice B telle que AB = I et B A = I .
  • Si une telle matrice B existe, elle est appelée inverse de A et est notée A−1.
  • Pour montrer l’inversibilité d’une matrice, de nombreux moyens sont utilisés: on peut d’abord calculer AB et si le résultat donne I alors A et B sont inversibles et A-1=B et B-1=A, Sinon, il est possible d’utiliser le pivot de gauss de sorte à obtenir une matrice triangle supérieure ou inférieure de M, si les coefficients diagonaux de cette matrice sont non nuls, alors la matrice est inversible. Pour donner son inverse, il suffit de poursuivre le pivot de gauss jusqu’à la fin.
  • Dans le cas d’une matrice carrée de dimension 2, pour savoir qu’elle est inversible il faut prouver que ad-bc (les coefficients de la matrice) est différent de 0. Après avoir montré qu’elle était inversible, il est possible de trouver son inverse en appliquant la formule correspondante.

 

Diagonalisation d’une matrice :

 C’est une question classique qui arrive souvent en fin d’exercice, elle constitue l’aboutissement de la réflexion menée tout au long de l’exercice. Pour dire qu’une matrice A est diagonalisable, il faut qu’elle respecte 3 conditions :

  • il faut que A soit une matrice carrée 
  • qu’il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale
  • de sorte que A= PDP-1

Pour démontrer que la matrice A est diagonalisable, il existe de nombreuses techniques :  

  • Premièrement, si à travers l’exercice on peut déceler une matrice A carrée, une matrice diagonale D et une matrice inversible P, il suffit de montrer que AP= PD pour prouver que la matrice A est diagonalisable.
  • D’autre part, il est possible de montrer que A est diagonalisable en prouvant par récurrence que An= PDnP= I

 

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Valeurs et vecteurs propres : 

Pour prouver que les matrices colonnes donnés dans un exercices (exemple V, U, W) sont propres à la matrice, il suffit de le multiplier à la matrice et de constater que le résultat est le produit de la matrice et d’un nombre qui constituera la valeur propre. Enfin, il faudra préciser que la matrice colonne est non nulle. De plus, les valeurs propres jouent un rôle important dans la mesure où elles peuvent servir pour justifier la diagonalisation d’une matrice. En effet, si une matrice de taille 3 dispose de 3 valeurs propres distinctes dont la juxtaposition de leurs matrice colonnes forment la matrice P inversible et en notant la matrice D diagonale, alors A= PDP-1 et donc A est diagonale.

 

Polynôme annulateur : 

Un polynome annulateur se définit comme étant un polynome matriciel de la matrice A qui est égal à 0. Souvent dans les exercices il est demandé de prouver qu’un polynôme est annulateur, pour cela, il suffit de remplacer les X par les matrices correspondantes et de constater que le résultat final est la matrice 0, si le résultat n’est pas égal à 0, c’est qu’un erreur de calcul à été faite. De même, il est également possible de voir un exercice demander le polynôme annulateur de A, pour cela il faut simplement appliquer la formule suivante : X2−(a+d)X+(adbc) et calculer pour trouver le polynome annulateur. (a,b,c,d étant les coefficients de la matrice)

De plus, la particularité du polynôme annulateur est qu’il peut également être révélateur des valeurs propres de A. En effet, toutes les racines du polynôme annulateur de A sont des valeurs propres de A.

 

Conclusion:

Voilà l’ensemble des clés nécessaires pour maintenant maitriser totalement le chapitre des matrices, il ne reste plus qu’à appliquer les conseils et s’exercer jusqu’à atteindre la perfection.

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