Mathématiques

Les quantificateurs : tout ce qu’il faut savoir et quelques astuces !

En DS de mathématiques, une partie des points est accordée à la rédaction. Celle-ci est donc extrêmement importante. Or, dans de nombreux raisonnements, il est nécessaire d’utiliser des quantificateurs, ou de les comprendre, pour avoir une rédaction parfaite. C’est pourquoi Mister Prépa te résume tout ce qu’il faut savoir sur les quantificateurs et te donne quelques astuces !

Lire plus : Comprendre les mathématiques durant la prépa

I – Eléments de cours sur les quantificateurs

En Terminale comme en prépa ECG – que ce soit en maths approfondies ou appliquées – il est demandé de connaître 3 principaux quantificateurs. Ces 3 quantificateurs sont essentiels et doivent être maîtrisés dès le début de l’année.

Soit E un ensemble. On utilise les 3 quantificateurs suivants :

II – Erreurs à éviter sur les quantificateurs

Utiliser les quantificateurs est parfois interdit

On ne peut pas utiliser les quantificateurs tout le temps ! En effet, ceux-ci ne peuvent pas servir d’abréviation. Autrement dit, si on veut utiliser un quantificateur, il faut les utiliser uniquement dans le cadre d’une proposition mathématique.

Par exemple, il est interdit d’écrire :

Il faudra ici écrire : Tout réel x admet un antécédent par la fonction d’équation y = x.

Ou encore (en langage mathématique) :

Attention, cette erreur peut vous faire perdre des points le jour du concours !

Utiliser des quantificateurs n’est parfois pas pratique

Lorsqu’on fait une série de calculs et que les équivalences s’enchaînent, il n’est pas astucieux d’utiliser des quantificateurs à chaque ligne. En effet, ceci alourdit votre copie, vous fait perdre du temps et conduit parfois à des fautes graves (notamment lorsqu’on oublie un quantificateur dans une des lignes).

Par exemple, au lieu d’écrire « Pour tout x » après chaque équivalence, il vaut mieux introduire la variable x en début de raisonnement de cette façon : « Soit x un réel tel que… ».

L’ordre des quantificateurs est important

De nombreux élèves se trompent sur l’ordre des quantificateurs. Il faut toujours faire attention à cet ordre : celui-ci est très important car il peut changer le sens de vos propositions !

Pour ne jamais se tromper sur l’ordre des quantificateurs, il suffit de retenir ces 3 points :

On peut changer l’ordre de deux quantificateurs ∀
On peut changer l’ordre de deux quantificateurs ∃
On ne peut pas changer l’ordre de deux quantificateurs ∀ et ∃

Par exemple :

III – Quelques astuces sur les quantificateurs

Astuce n°1 : Transformer les quantificateurs pour simplifier une démonstration

La transformation des quantificateurs est très utile pour simplifier certaines démonstrations. On utilisera notamment cette astuce dans le cas d’une démonstration par l’absurde ou dans la recherche d’un contre-exemple.

Par exemple, on veut démontrer la proposition : « Il n’existe aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 2 », autrement dit « Tout nombre rationnel n’admet pas 2 pour carré ». En langage mathématique, il faudra écrire :

Ici, on nous demande de démontrer cette proposition : on sait donc qu’elle est vraie. On ne peut donc pas utiliser de contre-exemple. Cependant, il semble également difficile de la démontrer de façon directe. Ainsi, on opte pour un raisonnement par l’absurde.

Il faut donc supposer la négation de la proposition qu’on veut démontrer et transformer les quantificateurs :

Puis, par un raisonnement qu’on ne va pas détailler ici, on aboutit à une absurdité.

Astuce n°2 : Utiliser les quantificateurs dans le cadre d’un contre-exemple

Dans le cas de la recherche d’un contre-exemple, on utilise aussi la transformation des quantificateurs.

Par exemple, on veut monter que cette proposition est fausse :

Alors, il suffit d’utiliser un contre-exemple. Ceci revient à montrer que la négation de la proposition ci-dessus est vraie. Autrement dit, on veut démontrer que :