Les matrices sont au coeur de l’algèbre, notamment en prépa ECG (que ce soit en maths appliquées ou en maths approfondies). L’inversion d’une matrice est donc de même au coeur de ce programme et est quelque chose de crucial qui revient souvent (pour la diagonalisation ou tout simplement pour calculer l’inverse d’une matrice). On va ici s’intéresser aux matrices 2×2 qui sont un type de matrice spécifique puisqu’il existe une formule pour vérifier si la matrice est inversible. Une fois que l’on sait si elle est inversible ou non, il existe une formule simple pour calculer son inverse. Il est important de noter que peut importe la taille, seules les matrices carrés peuvent éventuellement être inversible.
Lire plus : Les 9 méthodes pour savoir si une matrice est inversible
Cours et méthode
Tout d’abord, il nous faut la définition d’une matrice inversible :
Définition d’une matrice inversible :
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\),on dit que \(A\)est inversible si et seulement si il existe \(B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)telle que :
\(AB=BA=I_n\)
Si cette égalité est vérifiée, on dit que \(B\)est l'inverse de \(A\). Cet inverse est noté \({A}^{-1}\)et on a donc \({A}^{-1}=B\)
On a ainsi \(A{A}^{-1}={A}^{-1}A=I_n\)
Cas particulier des matrices 2x2 :
On va donc prendre une matrice 2x2 et regarder quelles sont les critères d'inversion.
Soient a,b,c et d 4 réels, et soit la matrice A 2x2 telle que :
\[A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]On dit que A est inversible si et seulement si ad-bc \(\neq\)0
ad-bc est appelé le déterminant de A et on le note \(\det(A)\), et on a donc : \(\det(A)=ad-bc\)
Ainsi, si A est inversible, alors on note \({A}^{-1}\)son inverse et \({A}^{-1}\)=\(\frac{1}{\det(A)}\)\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Exemples
1) Exemple de cours (matrice simple)
Soit \(B=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}\)
Ainsi, \(\det(B)= (2*7)-(4*1)=10\).
Donc B est inversible et on a : \({B}^{-1}= \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)
2) Exemple avec de matrice avec paramètres
On a : \(\forall k \in \mathbb{N},\) \(C= \begin{pmatrix} k+1 & 3 \\ 2 & k\end{pmatrix}\)
Ainsi, \(\det(C)=(k+1)k-6={k}^{2}+k-6=(k-2)(k+3)\). En effet, 2 et -3 sont des racines évident du polynôme \({k}^{2}+k-6\).
Donc \(\det(C)=0\Leftrightarrow k=2\)ou\(k=-3\). Or \(k\in\N\), donc on ne peut pas avoir \(k=-3\).
On a donc \(\det(C)=0\Leftrightarrow k=2\). C n'est donc pas inversible si \(k=2\).
Il en résulte donc que C est inversible si et seulement si \(k\in\mathbb{N} \setminus \{2\}\).
On a donc 2 cas :
- \(k=2\), alors C n'est pas inversible
- \(k\neq2\), C est donc inversible et on a : \({C}^{-1}=\frac{1}{{k}^{2}+k-6}\begin{pmatrix} k & -3 \\ -2 & k+1 \end{pmatrix}\)
3) Exemple d'inversion de matrice 2x2 tiré d'annale (Maths Appliquées EDHEC 2018, Exercice 1)
On a \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
- Vérifier que A n'est pas inversible
\(\det(A)=(1*6) -(2*3)=6-6=0\), donc A n'est pas inversible.
Conclusion
Nous avons donc vu comment inverser une matrice 2x2 et comment calculer son inverse. Savoir vérifier si une matrice 2x2 est inversible est très utile en prépa ECG. Il existe de même une méthode pour inverser une matrice 3x3, mais celle-ci n'est cependant pas au programme de mathématiques en ECG, cette méthode est réservée aux scientifiques. De fait, pour vérifier l'inversibilité d'une matrice 3x3 (ou d'une autre taille d'ailleurs) il existe de nombreux critères que l'on verra dans un autre article. Une fois ces critères vérifiés, si la matrice 3x3 (ou plus grande) est inversible, alors il faudra sûrement passer par un système linéaire pour obtenir son inverse.
